สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวกและการคูณ

สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวกและการคูณ มีดังนี้

1. สมบัติปิด

2. สมบัติการสลับที่

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม

4. สมบัติการมีเอกลักษณ์

5. สมบัติการมีอินเวอร์ส

6. สมบัติการแจกแจง

สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวก

1. สมบัติปิดของการบวก

ถ้า a ε R และ b ε R แล้ว a + b ε R

เช่น ถ้า 4 , 5 ε R แล้ว 4 + 5 = 9 ซึ่ง 9 ε R ด้วย

2. สมบัติการสลับที่ของการบวก

ถ้า a ε R และ b ε R แล้ว a + b = b + a

เช่น 2 + 3 = 3 + 2

3. สมบัติการเปลี่ยนหมู่สำหรับการบวก

ถ้า a ε R , b ε R และ c R แล้ว a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

เช่น 2 + ( 4 + 5 ) = ( 2 + 4 ) + 5

4. สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก

จำนวนจริงที่นำมาบวกกับจำนวนจริง a แล้วได้ผลลัพธ์เท่ากับ a เรียกจำนวนจริงที่นำมาบวกว่าเอกลักษณ์การบวก ในระบบจำนวนจริงมีเอกลักษณ์การบวกจำนวนเดียว คือ 0

เช่น 2 + 0 = 2 = 0 + 2

5. สมบัติการมีอินเวอร์สของการบวก

จำนวนจริงที่บวกกับจำนวนจริง a แล้วได้ผลลัพธ์เท่ากับ 0 คือ – a

เรียก – a ว่าเป็นอินเวอร์สการบวกของ a

เช่น ( – 5 ) + 5 = 0 = 5 + ( – 5)

สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการคูณ

1. สมบัติปิดของการคูณ

ถ้า a ε R และ b ε R แล้ว a υ b ε R

เช่น 3 ε R แล้ว 4 ε R แล้ว 3 υ 4 = 12 ซึ่ง 12 υ R

2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ

ถ้า a และ b ε R แล้ว a υ b = b υ a

เช่น 2 ε R และ 3 ε R แล้ว 2 υ 3 = 3 υ 2

3. สมบัติการเปลี่ยนหมู่สำหรับการคูณ

ถ้า a , b และ c ε R แล้ว ( ab ) c = a ( b c )

เช่น 2 , 3 และ 4 ε R แล้ว ( 2 3 ) 4 = 2 ( 34 )

4. สมบัติการมีเอกลักษณ์การคูณ

จำนวนจริงที่นำมาคูณกับจำนวนจริง a แล้วได้ผลลัพธ์เท่ากับ a เรียกจำนวนจริงที่นำมาคูณว่าเอกลักษณ์การคูณ ในระบบจำนวนจริงมีเอกลักษณ์การคูณจำนวนเดียว คือ 1

เช่น 1 3 = 3 = 31

5. สมบัติการมีอินเวอร์สของการคูณ

จำนวนที่คูณกับจำนวนจริง a แล้วได้ผลลัพธ์เป็น 1 คือ a– 1 เรียก a– 1 ว่าเป็นอินเวอร์สการคูณของจำนวนจริง a

เช่น 4 × 4 – 1 = 4 × 1/4 = = 1 ดังนั้น 4 – 1 หรือ 1/4 เป็นอินเวอร์สการคูณของ 4

หรือ 4 × 4 – 1 = 4 1 +( -1 ) = 4 0 = 1

ตัวอย่างของอินเวอร์สการบวกของจำนวนจริง

1. อินเวอร์สการบวกของ 5 คือ – 5

2. อินเวอร์สการบวกของ 0.3 คือ – 0.3

3. อินเวอร์สการบวกของ – √3 คือ √3

4. อินเวอร์สการบวกของ 2∏ คือ – 2∏

5. อินเวอร์สการบวกของ 1/2 – 1/3 คือ – (1/2-1/3)

6. อินเวอร์สการบวกของ 0.1 คือ – 0.1

7. อินเวอร์สการบวกของ – 1/4 คือ 1/4

8. อินเวอร์สการบวกของ -1+√2/2 คือ – (-1+√2/2) หรือ

ตัวอย่างของอินเวอร์สการคูณของจำนวนจริง

1. อินเวอร์สการคูณของ √2/5 คือ 5/√2

2. อินเวอร์สการคูณของ -25 คือ -1/25

3. อินเวอร์สการคูณของ √3-5√2 คือ 1/√3-5√2

4. อินเวอร์สการคูณของ abc คือ – abc

5. อินเวอร์สการคูณของ – 14/3 คือ – 3/

6. อินเวอร์สการคูณของ a + b คือ 1/a + b

7. อินเวอร์สการคูณของ -a-b-c คือ 1/ -a-b-c

8. อินเวอร์สการคูณของ a-2b/2 คือ 2/a-2b

6. สมบัติการแจกแจง

ถ้า a , b และ c ε R แล้ว a ( b + c ) = a b + ac และ ( b + c ) a = ba + ca

เช่น 2 , 3 และ 4 ε R แล้ว 2 ( 3 + 4) = ( 2υ 3 ) + ( 2υ4 )

หรือ ( 3 + 4 ) 2 = ( 3υ2 ) + ( 4υ2 )

การไม่เท่ากัน

การไม่เท่ากัน

    การเปรียบเทียบจำนวนสองจำนวนว่ามากกว่าหรือน้อยกว่าได้ โดยเขียนอยู่ในรูปประโยคสัญลักษณ์ เช่น n แทนจำนวนเต็ม

      n >  5 หมายถึง จำนวนเต็มทุกจำนวนที่มากกว่า 5 เช่น 6 ,7 ,8 ,...

      n ≤ 1  หมายถึง จำวนเต็มทุกจำนวนที่น้อยกว่าหรือเทท่ากับ 1 เช่น 1  ,0 ,-1 ,-2, ...

     n = 4 หมายถึง จำนวนทุกจำนวนที่ไม่เท่ากับ 4 เช่น ... ,- 2 ,-1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,5 ,6 ,...

 อสมการ : ประโยคที่มีสัญาลักษณ์                          หรือ =  แสดงการเปรียบเทียบจำนวนสองจำนวน

คำตอบของอสมการ : จำนวนที่แทนตัวแปรได้อสมการที่เป็นจริง
เซตคำตอบของอสมการ : การหาคำตอบของอสมการ โดยอาศัยสมบัติของการไม่เท่ากัน

จำนวนจริง

ระบบจำนวนจริง

จากแผนผังแสดงความสัมพันธ์ของจำนวนข้างต้น จะพบว่า ระบบจำนวนจริง จะประกอบไปด้วย

1. จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2, - √3, -√5 หรือ ¶ ซึ่งมีค่า 3.14159265...

2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น

การให้เหตุผลแบบนิรนัย

2. การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning)การให้เหตุผลแบบนี้เป็ นการให้เหตุผลที่อ้างวา่ สิ่งที่กาหนดให้ยืนยันผลสรุป โดยก ํ าหนดให้เหตุ ํ (หรือข้อสมมติ) เป็ นจริงหรือยอมรับวาเป็ นจริงให้กฎเกณฑ์ ่ ต่างๆ สรุปผลจากเหตุที่กาหนดให้ ํ คณิตศาสตร์(พค 31001) ตอนที่ 7 44 ตัวอยาง่ เหตุ 1.ผู้ชายตั้ งท้องได้ 2. สุริยน เป็ นผู้ชาย ผลสรุป สุริยนตั้ งท้องได้

การให้เตุผลแบบอุปนัย

การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning)

การให้เหตุผลแบบนี้เป็ นการสรุปผลโดยใช้ ประสบการณ์ หรือใช้เหตุการณ์เฉพาะซึ่งเกิดขึ้นซํ้ าๆ กนหลายครั ั ้งมาคาดคะเนผลสรุป หรือสรุปเป็ นกฎเกณฑ์ ผลสรุปที่ได้อาจเป็ นจริงหรือไม่ เป็ นจริงก็ได้ ข้อควรรู้ 1.ข้อสรุปของการให้เหตุผลแบบอุปนัยอาจจะไม่จริงเสมอไป 2.การสรุปผลของการให้เหตุผลแบบอุปนัยอาจขึ้นอยูก่ บั ประสบการณ์ของผ้สรู ุป 3.ข้อสรุปที่ได้จากการให้เหตุผลแบบอุปนัยไม่จําเป็ นต้องเหมือนกน ั ตัวอยาง่ เหตุ 1.วันนี้สุริยารักพิมพ์ใจ 2.วันพรุ่งนี้สุริยารักพิมพ์ใจ ผลสรุป สุริยารักพิมพ์ใจตลอดไป

การให้เหตุผล

ารให้เหตุผล

การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญมีอยู่ 2 วิธี คือ

         3.1การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning) เป็นการสรุปผลในการค้นหาความจริงจากการสังเกต  หรือการทดลองหลายครั้งจากกรณีย่อยๆ แล้วนำมาสรุปเป็นความรู้แบบทั่วไป ซึ่งข้อสรุปที่ไม่จำเป็นต้องถูกต้องทุกครั้ง

         3.2การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning ) เป็นการนำสิ่งที่ยอมรับว่าเป็นจริงมาประกอบเพื่อนำไปสู่ข้อสรุปจากสิ่งที่ยอมรับแล้ว

         - การสรุปที่สมเหตุสมผล (Valid) คือ ข้ออ้างหรือเหตุที่เป็นจริงเป็นผลให้ได้ข้อสรุปที่ถูกต้อง

         - การสรุปผลที่ไม่สมเหตุสมผล (Invalid) คือ ข้ออ้างหรือเหตุเป็นจริง แต่ไม่เป็นผลให้ไดข้อสรุปที่ถูกต้อง

          การตรวจสอบความสมเหตุสมผลนั้นสมารถตรวจสอบได้หลายวิธี  แต่วิธีการหนึ่งที่นิยม คือ การวาดแผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์  เป็นการวาดแผนภาพตามสวมมิติฐานที่เป็นไปได้  แล้วจึงพิจารณาว่าแผนภาพแต่ละกรณีแสดงผลการสรุปตามที่สรุปไว้หรือไม่

-                   ถ้าแผนภาพที่วาดกรณีที่เป็นไปได้ทุกกรณีแสดงผลตามที่กำหนดจึงกล่าวได้ว่า การสรุปผลนันสมเหตุสมผล

-                   ถ้าแผนภาพที่วาดกรณีที่เป็นไปได้ทุกกรณีไม่แสดงผลตามที่สรุปไว้ จึงกล่าวได้ว่า การสรุปผลนั้นไม่สมเหตุสมผล

ยูเนียยน อินเตอร์เซ็กชั่นและคิมพรีเมนต์ของเซต

ยูเนียน (Union)
ยูเนียน (Union) มีนิยามว่า เซต A ยูเนียนกับเซต B คือเซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A หรือ เซต B หรือทั้ง A และ B สามารถเขียนแทนได้ด้วย สัญลักษณ์ A ∪ B

ตัวอย่างเช่น

A ={1,2,3}

B= {3,4,5}

∴ A ∪ B = {1,2,3,4,5}

เราสามารถเขียนการยูเนี่ยนลงในแผนภาพได้ดังนี้

union

อินเตอร์เซกชัน (Intersection)
อินเตอร์เซกชัน (Intersection) มีนิยามคือ เซต A อินเตอร์เซกชันเซต B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A และเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ∩ B

ตัวอย่างเช่น

A ={1,2,3}

B = {3,4,5}

∴ A ∩ B = {3}

เราสามารถเขียนการอินเตอร์เซกชันลงในแผนภาพได้ดังนี้

intersection

คอมพลีเมนต์ (Complements)
คอมพลีเมนต์ (Complements) มีนิยามคือ ถ้าเซต A ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้วคอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A’

ตัวอย่างเช่น

U = {1,2,3,4,5}

A ={1,2,3}

∴ A’ = {4,5}

 เราสามารถเขียนการคอมพลีเมนต์ของเซตลงในแผนภาพได้ดังนี้

complement

สับเซตและพาวเวอร์เซต

                   

การที่เซต A จะเป็นสับเซตของเซต B ได้นั้นสมาชิกทุกตัวของเซต A จะต้องเป็นสมาชิกของเซต B

สัญลักษณ์

เซต A เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A  B เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A  B

A = {1, 2}     B = {2, 3} C = {1, 2, 3}     D = {1, 2, 3, 4}

A  B, A  C, A  D B  A, B  C, B  D C  A, C  B, C  D D  A, D  B, D  C

หมายเหตุ

1. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง (A  A) 2. เซตว่าง เป็นสับเซตของทุก ๆ เซต (  A)  3. ถ้า A   แล้ว A =  4. ถ้า A  B และ B  C แล้ว A  C 5. A = B ก็ต่อเมื่อ A  B และ B  A

ถ้า A เป็นเซตใด ๆ เพาเวอร์ของเซต A คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นสับเซตทั้งหมดของ A เขียนแทนด้วย P(A) 

เซต A	P(A)
	{}
{a}	{, {a}}
{a, b}	{, {a}, {b}, {a, b}}
{a, b, c}	{, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

เอกภพสัมพัทธ์

เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ถูกกำหนดขึ้นโดยมีข้อตกลงว่า จะกล่าวถึงสิ่งที่เป็นสมาชิกของเซตนี้เท่านั้น จะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นใดที่ไม่เป็นสมาชิกของเซตนี้ โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์  แทนเซตที่เป็นเอกภพสัมพัทธ์

A เป็นเซตของจำนวนนับที่มีค่าน้อยกว่า 5	สมาชิกในเซต A ต้องเลือกมาจากเซตของจำนวนนับเท่านั้น ซึ่งได้แก่ 1, 2, 3, 4 ดังนั้น เซตของจำนวนนับทั้งหมดเป็นเอกภพสัมพัทธ์ หรือ  คือเซตของจำนวนนับ
B เป็นเซตของจำนวนเต็มที่เป็นคำตอบ ของสมการ (2x - 1)(x + 4) = 0	สมาชิกของ B ต้องเลือกมาจากเซตจำนวนเต็มเท่านั้น ซึ่งได้แก่ -4 ดังนั้น  เซตของจำนวนเต็มทั้งหมดจึงเป็นเอกภพสัมพัทธ์ หรือ  คือเซตของจำนวนเต็ม

หมายเหตุ

ในเรื่องที่เกี่ยวข้องกับระบบจำนวน ถ้าไม่ระบุแน่ชัดว่าเชตใดเป็นเอกภพสัมพัทธ์ ให้หมายถึงเซตของจำนวนจริงเป็นเอกภพสัมพัทธ์เสมอ

เซต

ในทางคณิตศาสตร์ เราใช้คำว่าเซตในความหมายของคำว่า กลุ่ม หมู่ เหล่า กอง ฝูง ชุด และเมื่อกล่างถึงเซตของสิ่งใด ๆ จะทราบได้ทันทีว่าในเซตนั้นมีอะไรบ้าง เราเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า สมาชิก

เซต	สมาชิกของเซตประกอบด้วย
เซตของวันในหนึ่งสัปดาห์	วันอาทิตย์, วันจันทร์, วันอังคาร, วันพุธ, วันพฤหัสบดี, วันศุกร์, วันเสาร์
เซตของจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย 5 ลงตัว	5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ...
เซตของคำตอบของสมการ X2 - 4 = 0	2, -2

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซต ชื่อและสมาชิกของเซต

1. สามารถใช้วงกลม, วงรี แทนเซตต่าง ๆ ได้
2. ชื่อเซตนิยมใช้ตัวใหญ่ทั้งหมด เช่น A, B, C, ...
3. สัญลักษณ์  แทนคำว่า "เป็นสมาชิกของ"
                 แทนคำว่า "ไม่เป็นสมาชิกของ"

1. ให้ A เป็นเซตของจำนวนนับตั้งแต่ 1 ถึง 5 นั่นคือ 

1  A,     2  A,     3  A,     4  A,     5  A     -----------------------------------------------     0  A,    6  A

2. ให้ B เป็นเซตของสระในภาษาอังกฤษ จะได้ว่า

a  B,     e  B,     i  B,     o  B,     u     ----------------------------------------------     b  B,    c  B