สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวกและการคูณ

สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวกและการคูณ มีดังนี้

1. สมบัติปิด

2. สมบัติการสลับที่

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม

4. สมบัติการมีเอกลักษณ์

5. สมบัติการมีอินเวอร์ส

6. สมบัติการแจกแจง

สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวก

1. สมบัติปิดของการบวก

ถ้า a ε R และ b ε R แล้ว a + b ε R

เช่น ถ้า 4 , 5 ε R แล้ว 4 + 5 = 9 ซึ่ง 9 ε R ด้วย

2. สมบัติการสลับที่ของการบวก

ถ้า a ε R และ b ε R แล้ว a + b = b + a

เช่น 2 + 3 = 3 + 2

3. สมบัติการเปลี่ยนหมู่สำหรับการบวก

ถ้า a ε R , b ε R และ c R แล้ว a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

เช่น 2 + ( 4 + 5 ) = ( 2 + 4 ) + 5

4. สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก

จำนวนจริงที่นำมาบวกกับจำนวนจริง a แล้วได้ผลลัพธ์เท่ากับ a เรียกจำนวนจริงที่นำมาบวกว่าเอกลักษณ์การบวก ในระบบจำนวนจริงมีเอกลักษณ์การบวกจำนวนเดียว คือ 0

เช่น 2 + 0 = 2 = 0 + 2

5. สมบัติการมีอินเวอร์สของการบวก

จำนวนจริงที่บวกกับจำนวนจริง a แล้วได้ผลลัพธ์เท่ากับ 0 คือ – a

เรียก – a ว่าเป็นอินเวอร์สการบวกของ a

เช่น ( – 5 ) + 5 = 0 = 5 + ( – 5)

สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการคูณ

1. สมบัติปิดของการคูณ

ถ้า a ε R และ b ε R แล้ว a υ b ε R

เช่น 3 ε R แล้ว 4 ε R แล้ว 3 υ 4 = 12 ซึ่ง 12 υ R

2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ

ถ้า a และ b ε R แล้ว a υ b = b υ a

เช่น 2 ε R และ 3 ε R แล้ว 2 υ 3 = 3 υ 2

3. สมบัติการเปลี่ยนหมู่สำหรับการคูณ

ถ้า a , b และ c ε R แล้ว ( ab ) c = a ( b c )

เช่น 2 , 3 และ 4 ε R แล้ว ( 2 3 ) 4 = 2 ( 34 )

4. สมบัติการมีเอกลักษณ์การคูณ

จำนวนจริงที่นำมาคูณกับจำนวนจริง a แล้วได้ผลลัพธ์เท่ากับ a เรียกจำนวนจริงที่นำมาคูณว่าเอกลักษณ์การคูณ ในระบบจำนวนจริงมีเอกลักษณ์การคูณจำนวนเดียว คือ 1

เช่น 1 3 = 3 = 31

5. สมบัติการมีอินเวอร์สของการคูณ

จำนวนที่คูณกับจำนวนจริง a แล้วได้ผลลัพธ์เป็น 1 คือ a– 1 เรียก a– 1 ว่าเป็นอินเวอร์สการคูณของจำนวนจริง a

เช่น 4 × 4 – 1 = 4 × 1/4 = = 1 ดังนั้น 4 – 1 หรือ 1/4 เป็นอินเวอร์สการคูณของ 4

หรือ 4 × 4 – 1 = 4 1 +( -1 ) = 4 0 = 1

ตัวอย่างของอินเวอร์สการบวกของจำนวนจริง

1. อินเวอร์สการบวกของ 5 คือ – 5

2. อินเวอร์สการบวกของ 0.3 คือ – 0.3

3. อินเวอร์สการบวกของ – √3 คือ √3

4. อินเวอร์สการบวกของ 2∏ คือ – 2∏

5. อินเวอร์สการบวกของ 1/2 – 1/3 คือ – (1/2-1/3)

6. อินเวอร์สการบวกของ 0.1 คือ – 0.1

7. อินเวอร์สการบวกของ – 1/4 คือ 1/4

8. อินเวอร์สการบวกของ -1+√2/2 คือ – (-1+√2/2) หรือ

ตัวอย่างของอินเวอร์สการคูณของจำนวนจริง

1. อินเวอร์สการคูณของ √2/5 คือ 5/√2

2. อินเวอร์สการคูณของ -25 คือ -1/25

3. อินเวอร์สการคูณของ √3-5√2 คือ 1/√3-5√2

4. อินเวอร์สการคูณของ abc คือ – abc

5. อินเวอร์สการคูณของ – 14/3 คือ – 3/

6. อินเวอร์สการคูณของ a + b คือ 1/a + b

7. อินเวอร์สการคูณของ -a-b-c คือ 1/ -a-b-c

8. อินเวอร์สการคูณของ a-2b/2 คือ 2/a-2b

6. สมบัติการแจกแจง

ถ้า a , b และ c ε R แล้ว a ( b + c ) = a b + ac และ ( b + c ) a = ba + ca

เช่น 2 , 3 และ 4 ε R แล้ว 2 ( 3 + 4) = ( 2υ 3 ) + ( 2υ4 )

หรือ ( 3 + 4 ) 2 = ( 3υ2 ) + ( 4υ2 )

การไม่เท่ากัน

การไม่เท่ากัน

    การเปรียบเทียบจำนวนสองจำนวนว่ามากกว่าหรือน้อยกว่าได้ โดยเขียนอยู่ในรูปประโยคสัญลักษณ์ เช่น n แทนจำนวนเต็ม

      n >  5 หมายถึง จำนวนเต็มทุกจำนวนที่มากกว่า 5 เช่น 6 ,7 ,8 ,...

      n ≤ 1  หมายถึง จำวนเต็มทุกจำนวนที่น้อยกว่าหรือเทท่ากับ 1 เช่น 1  ,0 ,-1 ,-2, ...

     n = 4 หมายถึง จำนวนทุกจำนวนที่ไม่เท่ากับ 4 เช่น ... ,- 2 ,-1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,5 ,6 ,...

 อสมการ : ประโยคที่มีสัญาลักษณ์                          หรือ =  แสดงการเปรียบเทียบจำนวนสองจำนวน

คำตอบของอสมการ : จำนวนที่แทนตัวแปรได้อสมการที่เป็นจริง
เซตคำตอบของอสมการ : การหาคำตอบของอสมการ โดยอาศัยสมบัติของการไม่เท่ากัน

จำนวนจริง

ระบบจำนวนจริง

จากแผนผังแสดงความสัมพันธ์ของจำนวนข้างต้น จะพบว่า ระบบจำนวนจริง จะประกอบไปด้วย

1. จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2, - √3, -√5 หรือ ¶ ซึ่งมีค่า 3.14159265...

2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น

การให้เหตุผลแบบนิรนัย

2. การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning)การให้เหตุผลแบบนี้เป็ นการให้เหตุผลที่อ้างวา่ สิ่งที่กาหนดให้ยืนยันผลสรุป โดยก ํ าหนดให้เหตุ ํ (หรือข้อสมมติ) เป็ นจริงหรือยอมรับวาเป็ นจริงให้กฎเกณฑ์ ่ ต่างๆ สรุปผลจากเหตุที่กาหนดให้ ํ คณิตศาสตร์(พค 31001) ตอนที่ 7 44 ตัวอยาง่ เหตุ 1.ผู้ชายตั้ งท้องได้ 2. สุริยน เป็ นผู้ชาย ผลสรุป สุริยนตั้ งท้องได้

การให้เตุผลแบบอุปนัย

การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning)

การให้เหตุผลแบบนี้เป็ นการสรุปผลโดยใช้ ประสบการณ์ หรือใช้เหตุการณ์เฉพาะซึ่งเกิดขึ้นซํ้ าๆ กนหลายครั ั ้งมาคาดคะเนผลสรุป หรือสรุปเป็ นกฎเกณฑ์ ผลสรุปที่ได้อาจเป็ นจริงหรือไม่ เป็ นจริงก็ได้ ข้อควรรู้ 1.ข้อสรุปของการให้เหตุผลแบบอุปนัยอาจจะไม่จริงเสมอไป 2.การสรุปผลของการให้เหตุผลแบบอุปนัยอาจขึ้นอยูก่ บั ประสบการณ์ของผ้สรู ุป 3.ข้อสรุปที่ได้จากการให้เหตุผลแบบอุปนัยไม่จําเป็ นต้องเหมือนกน ั ตัวอยาง่ เหตุ 1.วันนี้สุริยารักพิมพ์ใจ 2.วันพรุ่งนี้สุริยารักพิมพ์ใจ ผลสรุป สุริยารักพิมพ์ใจตลอดไป

การให้เหตุผล

ารให้เหตุผล

การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญมีอยู่ 2 วิธี คือ

         3.1การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning) เป็นการสรุปผลในการค้นหาความจริงจากการสังเกต  หรือการทดลองหลายครั้งจากกรณีย่อยๆ แล้วนำมาสรุปเป็นความรู้แบบทั่วไป ซึ่งข้อสรุปที่ไม่จำเป็นต้องถูกต้องทุกครั้ง

         3.2การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning ) เป็นการนำสิ่งที่ยอมรับว่าเป็นจริงมาประกอบเพื่อนำไปสู่ข้อสรุปจากสิ่งที่ยอมรับแล้ว

         - การสรุปที่สมเหตุสมผล (Valid) คือ ข้ออ้างหรือเหตุที่เป็นจริงเป็นผลให้ได้ข้อสรุปที่ถูกต้อง

         - การสรุปผลที่ไม่สมเหตุสมผล (Invalid) คือ ข้ออ้างหรือเหตุเป็นจริง แต่ไม่เป็นผลให้ไดข้อสรุปที่ถูกต้อง

          การตรวจสอบความสมเหตุสมผลนั้นสมารถตรวจสอบได้หลายวิธี  แต่วิธีการหนึ่งที่นิยม คือ การวาดแผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์  เป็นการวาดแผนภาพตามสวมมิติฐานที่เป็นไปได้  แล้วจึงพิจารณาว่าแผนภาพแต่ละกรณีแสดงผลการสรุปตามที่สรุปไว้หรือไม่

-                   ถ้าแผนภาพที่วาดกรณีที่เป็นไปได้ทุกกรณีแสดงผลตามที่กำหนดจึงกล่าวได้ว่า การสรุปผลนันสมเหตุสมผล

-                   ถ้าแผนภาพที่วาดกรณีที่เป็นไปได้ทุกกรณีไม่แสดงผลตามที่สรุปไว้ จึงกล่าวได้ว่า การสรุปผลนั้นไม่สมเหตุสมผล

ยูเนียยน อินเตอร์เซ็กชั่นและคิมพรีเมนต์ของเซต

ยูเนียน (Union)
ยูเนียน (Union) มีนิยามว่า เซต A ยูเนียนกับเซต B คือเซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A หรือ เซต B หรือทั้ง A และ B สามารถเขียนแทนได้ด้วย สัญลักษณ์ A ∪ B

ตัวอย่างเช่น

A ={1,2,3}

B= {3,4,5}

∴ A ∪ B = {1,2,3,4,5}

เราสามารถเขียนการยูเนี่ยนลงในแผนภาพได้ดังนี้

union

อินเตอร์เซกชัน (Intersection)
อินเตอร์เซกชัน (Intersection) มีนิยามคือ เซต A อินเตอร์เซกชันเซต B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A และเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ∩ B

ตัวอย่างเช่น

A ={1,2,3}

B = {3,4,5}

∴ A ∩ B = {3}

เราสามารถเขียนการอินเตอร์เซกชันลงในแผนภาพได้ดังนี้

intersection

คอมพลีเมนต์ (Complements)
คอมพลีเมนต์ (Complements) มีนิยามคือ ถ้าเซต A ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้วคอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A’

ตัวอย่างเช่น

U = {1,2,3,4,5}

A ={1,2,3}

∴ A’ = {4,5}

 เราสามารถเขียนการคอมพลีเมนต์ของเซตลงในแผนภาพได้ดังนี้

complement